图1 吴文俊

我想今天谈一下数学教育的现代化问题，对这样一个大的、重要的而且是复杂的问题，不是一个人随便说了就算数的，应该是经过充分讨论、集思广益，来产生一个共识。

我说的这个现代化，实际上是指机械化。这当然也是我个人主观的看法，大家可以有许多不同的看法。

所谓数学教育是相对于数学研究而来的，这是两个非常不同的范畴。作为数学研究，你要重视创新，可是作为数学教育，你就不能随便创新，而且最好避免随便创新，从影响来讲这也不一样：比如说数学研究，我若写一篇大论文，可以得菲尔茨奖，而这对社会对经济会有什么影响？这个可以说谈不上，对数学本身你说这篇大论文能起什么大的影响？也很难说。可是数学教育就不一样了，这一影响可以很大——弄得好，可以使得数学今后的面貌完全不一样；弄得不好，就会引起许多灾难。

这个灾难也不是随便瞎想的。事实上，是出现过这样的灾难的。我们在60年代中期到70年代中期经历了一场文化大革命。差不多在同时，在国外，主要可能是在法国和美国，在数学领域也出现了一场“文化大革命”。当时，就在数学里边推广所谓的“新数学”，也就是当时认为的“现代化”的数学。这个“现代化”的数学，把当时研究最活跃的，比如说拓扑学的内容放到中小学的一些课程里面去，放进一些拓扑的概念等内容，还有许多其他的改革。总的说起来，我说他们的这一场“新数学”运动或者“数学现代化运动”中的“现代化”是极端非机械化的数学。大家可能都知道，这一场现代化的新数学运动，引起了数学教育方面的一场灾难。我想，我们幸好那个时候正好是文化大革命，所以对于这场国外的“文化大革命”没怎么跟上。等到我们的文化大革命结束了，他们的“文化大革命”也以失败而告终了。否则，我们要是也跟上他们干了的话，我们也会引起一场灾难。

可是另外，我们也有一些方面引起一些不好的后果。当然由于我几十年没有怎么接触学校教育，可能不是那么回事。好像有一个时期，我们在中学里边，把解析几何或者取消了，或者削减到了一个很少的程度。那么，这个后果之一呢，就是等到大学学习微积分的时候你先得花几个月的时间来补这个解析几何。我不知道是不是这样一种情况，我说这也是近似一场灾难，当然没那么厉害。所以说，数学教育的影响很大，不能随便来。这和数学研究不一样，研究工作为了创新，我可以横冲直撞。可是数学教育作为教育你就必须慎重其事，要非常仔细，不能随便乱来。稍微一个做得不对，就要引起很大的后果。

我本来是跟数学教育几十年完全脱节了的，但说实在话，我对数学教育是一直很感兴趣的。对于推行机械化，过去是条件不具备，现在呢，条件相当成熟了，主要方面的条件都比较成熟了。刚才已经谈到，搞不好，会有类似新数学的这种危险。可是另外一方面，既有右的危险，也有左的危险。我说新数学的危险是由于推行极端非机械化产生的一种危险。可是你假定推行机械化的话，如果你推行不当，也可以产生许多危险。所以对于这个地方右的、左的都可以产生很坏的影响。

我举一个例子，要搞所谓的机械化，那当然要使用计算机了，那么计算机在中小学里面推行，这当然很重要。计算机从娃娃的时候学起，我非常赞成。可是假设学习不当，你就会连加减乘除也学不成，小学里边的学生学加减乘除时，你说我有一个计算器，我把一个数字输进去，再把一个数字输进去，一加一乘马上就出来了。你要这个样子去学的话，那么学生非但加减乘除学不会，而且以后的整个的数学、科学技术就都不可能学会。我说这是一个非常的危险，这个危险大概不会出现。可是另外有一种危险可以用形形色色的方式，引起对计算机的认识上的问题。使用得不当，还可以引起各种各样的危害的后果。所以，尽管我是不可能涉足，可是我想还是借这个机会谈一下我对这个问题的看法，因为这个问题比较重要。当然，我的话可能有许多错误，尤其可能跟现在的教学情况不符。可是我想，尽管我不在其位，现在还是要谋一下政。我现在来谈一谈我个人的看法。

图2 计算机

大学中的现代化问题，或者照我的看法，所谓机械化的问题，现在谈起来为时过早，可能要到21世纪再谈比较合适。所以我想谈的主要是中小学范围里边的数学现代化，或者照我的看法，所谓数学机械化的问题。

解放前，我自己教过好些年的中学，大概有5年，我教的中学都是只有初中和小学的初级中学，我只有半年好像是在一个高中代过课，可真正的高中课没教过。我觉得，中小学内容，数学教学内容跟大学的教学内容有一个非常不同的地方。就是大学的教学内容，基本上用我现在的话讲是非机械化的，大体上是非机械化的，而且是西方的，是17世纪以后的西方的数学的内容。

可是中小学的数学内容，我想借用一个叫做斯托罗克（既搞微分几何又搞数学史）的话，他写过一本叫做《数学简史》的书，这个里边讲到，西方以外的这个数学，他起了个名字叫做东方数学。他说中小学里边的数学，跟我们现在搞数学的人接触的大学数学和数学研究的那种数学味道非常不同，他把它叫做东方数学。取名为东方数学，说明中小学里边的数学是来源于东方的数学。

我说这个东方应该主要是指中国。我说他的这个说法非常对，整个中小学的数学的教学内容，基本上是东方的也就是中国的，或者说是机械化的。大学教育内容是西方的，大体是非机械化的；可是中小学的数学内容，大部分、基本上、主要的部分是东方式的，是东方数学，是机械化的数学。

那么，我们现在来检查一下怎么样的才是东方的，是机械化的。先来看一下小学，在小学，我们首先要讲四则运算，加减乘除，还有开方等等。其次可能还有比例，有一些我不知道，因为具体内容我不太清楚，还有其他的一些，可能还有一些统计的常识，我在解放前有一段时间还要学习珠算。大体上是这样，现在可能有很大的变动了。不过，你的基本内容是不能取消的，这是最根本的。此外，解放前到了小学六年级有整整差不多一年，搞所谓四则难题，我也教过初中，到了初中，第一年一年级整整一年又讲四则难题，就是对这个四则难题，在解放前我那个时候，学生差不多花了整整两年时间来学习，现在情况我不知道。

那么四则难题的内容是什么呢？我举一个典型的例子，就是鸡兔同笼。这个推理过程，可以说逻辑推理是非常严格的，思维是非常巧妙的，若要我说，这是用了一些奇招、怪招算出来的。

图3 鸡兔同笼

那么整整小学六年级和初中一年级这个两年里面，就要学习许许多多诸如此类的四则难题，学习许多奇招怪招。这些奇招怪招如果学多了，对于逻辑推理、思维能力等等，的确是起了一定的作用，可是你学了那么多会有什么用？当然奇招怪招学的越多，本领就越大，可事实上，将来你能够用的，我想不会碰到，碰到的机会是微乎其微的。

大概现在不是这样的，我不知道是从什么时候开始的，过去的初中是从初中二年级开始学习代数，用代数的方法来处理诸如此类的问题，四则难题就变得非常容易了。对于鸡兔同笼之类的许多四则难题，你若用代数的方法来做，就会变得非常容易。更重要的是，尽管这种四则难题制造了许许多多的奇招怪招，但是你跑不远、走不远，更不能腾飞，谈不上，远远谈不上腾飞。可是你要是引进代数方法，这些东西就都变成了不必要的，平平淡淡的。你就可以做了，而且每个人都可以做，用不着天才人物想出许多招来才能做，而且他可以腾飞，非但可以跑得很远而且可以腾飞。所以四则难题用代数取而代之，这是完全正确的，对于数学教育这是非常重要的。我说不能在奇招怪招上消耗时间太多，消耗时间太多是错误的。但我并不是说完全排除不要，你可以不是花整整两年的时间，而是把比如说几个月的时间，两三个月的时间花在这些难题上面，然后再讲代数的方法，把这些难题用奇招怪招做的和用代数方法做的做一个对比，我想这样应该是比较有效果的，我不知道现状是怎么样的。我是非常反对那种做法的，你看他好像学了很大的本领——这一个是一个巧妙的，那一个又是一个巧妙的，其实他做不了什么大事，你要想上升或者说腾飞根本谈不上。

这是我讲的小学里边的情形。这个地方我有必要说一下，我说小学里边的内容以四则运算为主，再进一步到代数方法的话，那这些内容就都是机械化的，这个机械化的内容所以能够很容易地在小学里边能够学到，主要的一个关系是因为它是机械化的，不需要像四则难题那样一定要用巧妙的想法，而是能够比较机械地进行。关键是，加减乘除这些方法，是借助在位值制的所谓位值制的数字表达上面的。这个位值制对进位制是很大的一个飞跃，不是一个简单的改进。我们知道十进位、二进位，而机器里边的这个二进位的111，同样的这个1位置不同，它代表的意义就不同，假定说化成十进位的话，最右边的1就是2^0，中间的1是2^1，左边的1则是2^2，同样的1表示不同的意义。同样的符号由于位置的不同，它的取值就不同，这就叫位值制。这个位值制比简单的进位制内涵不知要广多少，对于这一点一般是不太认识的。

图4

我简单地说，进位制是只有中国有。我不是说外国没有进位制，比如说拉丁美洲的玛雅民族有20进位制，埃及有十进位制，巴比伦有60进位制。可这种进位制都是不完全的，是残缺不全的。而只有中国的十进位制才是完全的，而且我们非但有完整的进位制，还有所谓位值制，这是很关键的一步，对于这一点一般是不太容易理解的。所以现在我来介绍拉普拉斯的一段话，拉普拉斯是这样讲的：“现在有所谓非常聪明的一个方法，把所有的数用10个字母表示出来，同时给他们一个绝对的位置的值。”这就是位值，就是对每一个位置，这三个1位置不同，不同的位置给它以不同的位值，“这个聪明的方法是从印度那儿来的。”

最后一句显然是错误的。印度的数学表达方式简直是不可思议的。西方往往以为所有从东方来的数学都是从印度来的，这个我们不去管它了。他说“用10个数字表达任意的数字，每一个数字由于不同的位置给它以不同的位值。这个聪明的方法是从印度那儿来的。这个想法是非常精致而且重要的，它看起来好像这样简单，正是由于非常简单，所以我们不能足够地认识它的功绩。可是正是由于它的非常的简单性跟它的极端的便利性，使得这个方法可以传达到所有的计算，又可影响到所有的计算，使得我们的算术的系统，可以放在有用的发明的第一流的位置。至于发明这样的一个方法是多么困难呢，可以从下面这个事实看出来：就是有两位历史上、古代最伟大的人物，两个天才人物，一个是阿基米德，一个是阿波罗尼，像这样两个伟大的天才人物都不能够发现这样重要的事情，就说明发现这样一个方法决不是一个容易的事情。”这是引了拉普拉斯的一段话。

图5 阿基米德

我引这个话是因为现在可能有许多人对位值制不太注意，对于位值制的重要性不太认识，所以我就说明一下。我说正是由于中国古代发明了完整的进位制而且还创造了位值制，才使得各种运算如加、减、乘、除、开方等等成为可能。希腊时候是没有开方，不会开方的，这是有书为证的。加减乘除怎么样，我不知道，因为没有书为证，我不好随便说。

正是有了这样的位值制，所以我们才能把算术变得非常简单，才使运算、计算变得非常简便，而且经得起历史的考验。我想的话起码两千年或者我想至少要好几千年。一直到现在，中小学里边你能够取消这些东西吗？所以我说完全是经得起历史考验的。

注：本文转自公众号“和乐数学”