杨振宁最新趣文：跨越80年求解一个数学游戏

 

       编者按：移棋相间游戏最早被记载于我国清代康熙年间成书的笔记小说《坚瓠集》中，在日本和英国亦曾以“鸳鸯游戏”和“泰特问题”之名风行。它要求玩家将n个相邻的白色棋子和n个相邻的黑色棋子，通过移动相邻两子的方式得到“黑白相间”的结果。

《坚瓠集》中记录，清代顺治年间胡励之曾发现当3≤n≤10时，经过n次移动均可得到“黑白相间”现象。数百年后的1920年代，是年尚在读中学的数理统计学开创者之一、我国数学家许宝騄和他的好友、“新红学”开拓者俞平伯在阅读此书后，曾将上述规律推至二十棋子。许宝騄在一年后总结出“合四为一”的新规律，据称一分钟即可讲完，使人豁然贯通。然而，由于后来科学研究任务繁重，许先生最终也未能如愿将这一公式整理出来。

而对这一游戏规律的探寻，也就一直传承到了十余年后许宝騄任教的西南联大学生身上。在本文中，世界著名物理学家、诺贝尔物理学家杨振宁先生完整记录下了他对该问题“Modulo 4”解法的论证。

 

（图源：pixabay.com）

撰文 | 杨振宁

1940年前后，在西南联大物理系和数学系的师生们许多都喜欢玩一个移动2n个围棋子的游戏。我也对它花过不少时间，始终未能完全解决。20多年后在美国我重新研究它，终于解决了所有n=3,4,5……的游戏，可是没有把答案写下来，只记得解决的一个关键方法是modulo 4。

最近看到一本关于许宝騄[1]的书，《道德文章垂范人间》，其中316页上有一篇俞润民的文章[2]，说许曾研究“移棋相间法”，曾发现“合四为一之新律”。我猜，此新律恐怕就是后来我发现的modulo 4方法。

这几天重新研究此游戏，再度得到全解，在下面描述。

 

游戏初始：p(3)

六个棋子摆成一行，如 (1) ，黑子 (b) 在左，白子 (v) 在右。

 

然后移动最左二子至最右，成 (2) ，再移动二子成 (3) ，再移动二子成  (4)。

从 (1) 到 (4) ，三步移动，达到黑白相间是游戏 p(3) 的三步解。请注意，每次移动，必须是相邻二子，平行移动。

p(4)

 

p(5)

 

p(6)

 

p(7)

 

p(8)

 

从 (31) 到 (39) 八步平行移动可以分成三段 ：

第一段  (31) 到 (33) 两步。请注意中间八子 bbbbvvvv 完全不动。 

第二段  (33) 到 (37) 四步。请注意左右两端的 bvvb 和 vvbb 八子完全不动。 

第三段  (37) 到 (39) 两步。其中第一步先不动 (37) 的最左四子bvvb, 只把最右四子的中间二子 vb 移到左面，成 (38) 。第二步则把 (38)  中最左的 bv 二子移到右面成 (39) 。

极重要的比较 ：

比较第二段 (33) 到 (37) 这四步，与 p(4) 的 (5) 到 (9) 这四步，前者去掉最左四子与最右四子就与后者完全雷同！！！也是说 p(4) 是p(8) 的中心。p(8) 在中心以外还有第一段的两步和第三段的两步，以及左右八子，合起来形成一框，我们称它为外框。

Modulo 4 p(8) 的中心是 p(4) 。四周是一个外框。我们把此关系写为

p(4)  →  p(8)

这个关系显然可以推广 ：

 

至此我们已显示所有 n>3 时 p(n) 的解法。

注解

[1] 数理统计学起源于二十世纪前半叶。创建此学科的五、六位学者中有许宝騄。

[2] 俞润民是许宝騄的外甥，是俞平伯的儿子。俞文还说此游戏“始于清顺治六七年”。

2019年11月完稿于清华园

来源于数学文化 ，作者杨振宁